We know that $ \cot 9^\circ = \tan 81^\circ $ and $ \cot 27^\circ = \tan 63^\circ, $ so \[\tan 9^\circ + \cot 9^\circ - \tan 27^\circ - \cot 27^\circ = \tan 9^\circ + \tan 81^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ.\]Then \begin{align*} \tan 9^\circ + \tan 81^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ &= \tan 9^\circ - \tan 27^\circ + \tan 81^\circ - \tan 63^\circ \\ &= \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \frac{\sin 81^\circ}{\cos 81^\circ} - \frac{\sin 63^\circ}{\cos 63^\circ} \\ &= \frac{\sin 9^\circ \cos 27^\circ - \sin 27^\circ \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ} + \frac{\sin 81^\circ \cos 63^\circ - \sin 63^\circ \cos 81^\circ}{\cos 81^\circ \cos 63^\circ}.\end{align*}From the angle subtraction formula, \begin{align*} &\frac{\sin 9^\circ \cos 27^\circ - \sin 27^\circ \cos 9^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ} + \frac{\sin 81^\circ \cos 63^\circ - \sin 63^\circ \cos 81^\circ}{\cos 81^\circ \cos 63^\circ} \\ &= \frac{\sin (9^\circ - 27^\circ)}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ} + \frac{\sin (81^\circ - 63^\circ)}{\cos 81^\circ \cos 63^\circ} \\ &= -\frac{\sin 18^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ} + \frac{\sin 18^\circ}{\cos 81^\circ \cos 63^\circ} \\ &= \sin 18^\circ \cdot \frac{\cos 9^\circ \cos 27^\circ - \cos 63^\circ \cos 81^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ \cos 63^\circ \cos 81^\circ} \\ &= \sin 18^\circ \cdot \frac{\cos 9^\circ \cos 27^\circ - \sin 27^\circ \sin 9^\circ}{\cos 9^\circ \sin 9^\circ \cos 27^\circ \sin 27^\circ}.\end{align*}From the angle addition formula and double angle formula, \begin{align*} \sin 18^\circ \cdot \frac{\cos 9^\circ \cos 27^\circ - \sin 27^\circ \sin 9^\circ}{\cos 9^\circ \sin 9^\circ \cos 27^\circ \sin 27^\circ} &= \sin 18^\circ \cdot \frac{\cos (27^\circ + 9^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{2} \sin 54^\circ} \\ &= \frac{4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \\ &= \boxed{4}.\end{align*}